Question

为什么实对称矩阵要求其正交矩阵，而不是可逆矩阵使其对角化？

Answer 1

题目为什么往往要求求正交矩阵，这也是为什么要讨论对角化的一个主要的目的之一，是为了求已知矩阵A的n次方，即A^n

因为T^(-1)AT=B（对角阵）

那么A^n=TB^nT^(-1)

由于对角阵B的n次方很好求，所以把A^n转化成B^n

但是如果矩阵T只是可逆，那么求它逆需要一定的过程，

而如果矩阵T是正交矩阵的话，那么它的逆就是它的转置，求起来更加方便 ，

因此一般来讲对于实对称矩阵，我们都要求要会求其正交矩阵。

实对称矩阵是矩阵，对的，但是实对称矩阵是一种特殊的矩阵，作为特殊的矩阵，那么除了一般矩阵性质以外还有一些特殊的性质，比如

1）实对称矩阵的特征值全为实数，

2）实对称矩阵中属于不同特征值的特征向量必正交。

3）n阶实对称矩阵一定有n个线性无关的特征向量。

4）实对称矩阵一定可以对角化。

由性质4可知:对于实对称矩阵，一定存在可逆阵T, 使得T^(-1)AT=对角阵。

Answer 2

“俊狼猎英”团队为您解答：
实对称矩阵是矩阵，对的，但是实对称矩阵是一种特殊的矩阵，作为特殊的矩阵，那么除了一般矩阵性质以外还有一些特殊的性质，比如
1）实对称矩阵的特征值全为实数，
2）实对称矩阵中属于不同特征值的特征向量必正交。
3）n阶实对称矩阵一定有n个线性无关的特征向量。
4）实对称矩阵一定可以对角化。
由性质4可知:对于实对称矩阵，一定存在可逆阵T, 使得T^(-1)AT=对角阵。
至于为什么实对称矩阵一定要求正交矩阵，这个对于题目来没有一定的要求，如果单单讨论它的对角化问题，你不一定非要求出是正交矩阵的。要求正交矩阵，往往是题目的要求。
至于题目为什么往往要求求正交矩阵，这也是为什么要讨论对角化的一个主要的目的之一，是为了求已知矩阵A的n次方，即A^n
因为T^(-1)AT=B（对角阵）
那么A^n=TB^nT^(-1)
由于对角阵B的n次方很好求，所以把A^n转化成B^n
但是如果矩阵T只是可逆，那么求它逆需要一定的过程，
而如果矩阵T是正交矩阵的话，那么它的逆就是它的转置，求起来更加方便 ，
因此一般来讲对于实对称矩阵，我们都要求要会求其正交矩阵。