Question

变限积分问题

为什么第一个选项是错误的

Answer 1

人家问的是原函数，又不是问导函数，所以你得把原函数算出来。
当x∈[0,1)时候，
F(x)=∫[0,x]f(x)dx=∫[0,x]x²dx=1/3x³|[0,x]=1/3x³
当x∈[1,2]时候，
F(x)=∫[0,x]f(x)dx=∫[0,1]x²dx+∫[1,x](x+1)dx=1/3x³|[0,1]+∫(1/2x²+x)|[1,x]
=1/3+1/2x²+x-3/2=1/2x²+x-7/6
所以F(x)=(1)1/3x³；(2)1/2x²+x-7/6
当x=1时候，左极限=1/3；右极限=3/2-7/6=1/3；所以F(x)在x=1处连续。
至于可导，要看在x=1处导函数左右极限是不是相等。

左导数=x²，x=1时左极限=1；右导数=x+1，x=1时，右极限=2。
左右极限不相等，所以在整个[0,2]区间内不可导，但是分别在(0,1)和(1,2)可导。
左极限右极限都存在但是不相等，所以是第一类间断点中的跳跃型间断点。
综上，该题选择第三个