Question

不定积分题

42那道，44不用解析全或思路新可追赏

Answer 1

42题，分享一种解法。设x=sinθ，∴原式=∫cosθdθ/(sinθ+cosθ)。再设I1=原式=∫cosθdθ/(sinθ+cosθ)，I2=∫sinθdθ/(sinθ+cosθ)。
∴I1+I2=∫dθ=θ+C1，I1-I2=∫(cosθ-sinθ)dθ/(sinθ+cosθ)=ln(sinθ+cosθ)+c2。
∴原式=I1=(1/2)[θ+ln(sinθ+cosθ)]+C=(1/2)[arcsinx+ln(x+√(1-x²))]+C。
44题。∵x³+1=x(x²+1)-x+1，∴原式=∫xdx/(1+x²)-∫xdx/(1+x²)²+∫dx/(1+x²)²。
而，∫xdx/(1+x²)=(1/2)ln(1+x²)+C1、∫xdx/(1+x²)²=(1/2)/(1+x²)+C2。对∫dx/(1+x²)²，设x=tanθ，∴∫dx/(1+x²)²=∫cos²θdθ=(1/2)[θ+(1/2)sin2θ]+C3=(1/2)[arctanx+x/(1+x²)]+C3,
∴原式=(1/2)[ln(1+x²)+(1+x)/(1+x²)+arctanx]+C。
供参考。

Answer 2

三角代换：x=sin(t)，dx=dsin(t)，x+sqrt(1-x^2)=sin(t)+cos(t)，因此
被积式=dsint/(sin(t)+cos(t))=cos(t)dt/(sin(t)+cos(t))=dt/(1+tan(t))
=1/2*[1+(1-tan(t))/(1+tan(t))]dt=1/2*[1+(cos(t)-sin(t))/(sin(t)+cos(t))]dt
积分=1/2*[t+ln(sin(t)+cos(t))]+C
将t=arcsin(x)代入后可得最终结果为

1/2*[arcsin(x)+ln(x+sqrt(1-x^2))]+C

Answer 3

分母次数比分子次数大，如果分母是平方或许可以用别的代换，一般都是分母次数大得比较明显我才会想到用倒代换，其实这个代换用得并不多，难度也不算大，找两个题做做基本就OK了

追问

so?