Question

为什么矩阵A与B等价的充分必要条件是存在可逆矩阵P和Q，使PAQ=B

Answer 1

因为矩阵A与B等价的充要条件是A可以经过有限次的初等行变换与有限次的初等列变换化为B，所以只需说明PAQ＝B与经过有限次的初等行列变换把A化为B是一回事。
事实上，P可逆⇔P可以写成有限个初等矩阵的乘积：P＝E1E2…Ei；同样Q可逆⇔Q可写成有限个初等矩阵的乘积：Q＝F1F2…Fj.这样
PAQ＝B ⇔ (E1E2…Ei)A(F1F2…Fj)＝B. ①
而矩阵A左乘一个初等矩阵E，相当于对A实施一次初等行变换；A右乘一个初等矩阵F，相当于对A实施一次列变换，所以①的后半部分恰恰说明：A经过i次初等行变换和j次初等列变换化成了B。
故按开头所述，A与B等价⇔PAQ＝B.

Answer 2

A与它的等价标准形 H=
Er 0
0 0
等价
即存在可逆矩阵P,Q 使得 PAQ=H
若A,B的秩相同, 则B 的等价标准形也是H
所以存在可逆矩阵P1,Q1 使得 P1BQ1=H
所以 PAQ=P1BQ1
所以 P1^-1PAQQ1^-1 = B
所以 A 可经初等变换化为B
即有A,B等价