Question

设A与B都是m*n矩阵,证明矩阵A与B等价的充分必要条件是:r(A)=r(B)

Answer 1

知识点:
任一矩阵A等价于
Er 0
0 0
其中 r = r(A), Er 是r(A)阶单位矩阵

证明: (=>) 因为A,B等价, 所以A可经初等变换化为B.
而初等变换不改变矩阵的秩
所以 r(A)=r(B).
(<=) 因为 r(A)=r(B)=r
所以 A,B 都等价于
Er 0
0 0
由矩阵等价的传递性知 A,B 等价.

Answer 2

A与B相抵，意味着二者有相同的相抵标准型，故r(A) = r(B)；反过来秩相等的矩阵相抵标准型也相同，记为Ir, 则 Ir = P1 * A * Q1 = P2 * B * Q2，故有 A = inv( P1 ) * P2 * B * Q2 * inv( P1 ) = P * B * A，其中P1, P2, Q1, Q2, P, Q均为可逆阵，因此A, B相抵。证毕

Answer 3

楼上说的对！