Question

高数第73题，利用微分中值定理证明含定积分的不等式。答案里为什么0到1的被积函数是2x?

1到2的被积函数是2(2-x)？为什么将1最为分界点

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Answer 1

这个题是这样，用其中一个式子举例，(f(x)-f(0))/(x-0)=f'(ξ1)，你化简后就会变成f(x)-f(0)=xf'(ξ1)，这里你不要把x当成未知变量，这就是设了一个属于(0,2)区间内的数而已。然后能够得到f(x)=f(0)+xf'(ξ1)，f(0)是0，题设有，所以成为f(x)=xf'(ξ1)，题设又告诉你那些导数的绝对值都是≤2的，对不对？所以有|f(x)|≤2x
接下来，你问，为什么用1区分，简单讲是为了好算，因为(0,x)上有|f(x)|≤2x，(x,2)上有|f(x)|≤2(2-x)，你是肯定要把(0,2)的积分区间分成两个部分的，至于这个x你怎么取，怎么分，就是好算好积分就可以了，没什么特别的。