Question

高等代数 线性空间问题求教

如图 要有详细的过程。请不要拿网上其他那些奇奇怪怪的答案来糊弄我

Answer 1

过程如图请参考

追问

顺便问一下问什么最后说X-AX∈W2和AX∈W1 就可以得出来P^n是直和呢？

追答

参考直和的定义，直和就是从W1，W2种分别取一个元素求和。要证明P^n=W1直和W2，那么就是P^n中的任何一个元素都可以分解成“W1中的元素+W2中的元素“的形式。我的证明就是说明这样一种分解形式是对于任何P^n中的元素都是存在的。

追问

好 谢谢

Answer 2

需要假定V是有限维空间，无限维空间基的存在性都成问题了（需要承认选择公理才能保证有基）
f是V->p的线性映射，秩为1，所以其核空间Ker(f)是n-1维的（n是V的维数）
取Ker(f)的一组基e_2,...,e_n，再从V中取一个向量e_1满足f(e_1)≠0
那么e_1/f(e_1),e_2,...,e_n就是一组满足要求的基