Question

向量a点乘向量b的意义

Answer 1

1. 向量的点乘

1.1 释义

向量的点乘,也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。

1.2 点乘公式

对于向量a(a1, a2,…, an)和向量b(b1, b2,…, bn)

a·b = a1b1+a2b2+…+anbn

要求一维向量a和向量b的行列数相同.

1.3 几何意义

点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a向量方向上的投影，有公式：

a·b = |a||b|cosθ

那么a，b向量的夹角：

θ=arccos[（a·b ）/（|a||b|） ]

根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为：

a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间

a·b=0 正交，相互垂直

a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间

2. 向量叉乘

2.1 释义

两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手定则。（一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。）

它的长度是a和b张开的平行四边形的面积.

Answer 2

向量的本质就是有方向的长度。理解的关键是【点乘】的意义。

我理解的【点乘】a*b*cosθ ，可以看成a 乘 【b的投影】， 或者 b 乘 【a的投影】。

所以向量点乘是可以用投影替换的。以下是投影的几何关系。

以下是余弦定理的证明，投影的步骤和向量的步骤对应。

所以向量的定义只是让表述更容易，没有逻辑上的问题。

可能定义向量【点乘】之后，需要证明【点乘】具有结合律分配律，这一步没有的话运算的逻辑有欠缺。

类似换元法，可以自己定义一个量，使解题方便。定义一种运算也不存在逻辑问题。

加减乘除也是人为定义的运算啊，只是更贴近生活而已。

向量之间的乘法有两种，分为点乘和叉乘。 向量a点乘向量b=|a||b|cos,其中表示a、b的夹角，记得这个夹角一定要起点重合。 向量a叉乘向量b的结果是一个向量，不同于点乘的结果是个数量，所以结果向量大小为|a||b|sin，方向符合右手定则，即右手除拇指外的四个手指并拢，指尖由a指向b，拇指的方向即为结果向量的方向

向量之间的乘法有两种，分为点乘和叉乘。向量a点乘向量b=|a||b|cos

,其中

表示a、b的夹角，记得这个夹角一定要起点重合。向量a叉乘向量b的结果是一个向量，不同于点乘的结果是个数量，所以结果向量大小为|a||b|sin

，方向符合右手定则，即右手除拇指外的四个手指并拢，指尖由a指向b，拇指的方向即为结果向量的方向。

Answer 3

|b|是两向量的模;b=(x2:表示a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积
a·b的代数意义。
a·b的几何意义,y1),θ是两向量之间的夹角(0≤θ≤π):
a·b=|a||b|cosθ:设a=(x1,
其中|a|向量a点乘向量b

Answer 4

向量的本质就是有方向的长度。理解的关键是【点乘】的意义。

我理解的【点乘】a*b*cosθ ，可以看成a 乘 【b的投影】， 或者 b 乘 【a的投影】。

所以向量点乘是可以用投影替换的。以下是投影的几何关系。

以下是余弦定理的证明，投影的步骤和向量的步骤对应。

所以向量的定义只是让表述更容易，没有逻辑上的问题。

可能定义向量【点乘】之后，需要证明【点乘】具有结合律分配律，这一步没有的话运算的逻辑有欠缺。

类似换元法，可以自己定义一个量，使解题方便。定义一种运算也不存在逻辑问题。

加减乘除也是人为定义的运算啊，只是更贴近生活而已。

Answer 5

数量积
：
shù
liànɡ
jī
又称“内积”、“点积”，物理学上称为“标量积”。两向量a与b的数量积是数量｜a｜·｜b｜cosθ，记作a·b；其中｜a｜、｜b｜是两向量的模，θ是两向量之间的夹角(0≤θ≤π)。
已知两个向量A和B,它们的夹角为C,则A的模乘以B的模再乘以C的余弦称为A与B的数量积(又称内积)
即已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积,记作a·b