Question

函数u=x+y+z在球面x^2+y^2+z^2=1上点(x0.y0.z0)处沿球面在该点的外法线方向的方向导数为!!!

Answer 1

解：设f（x，y，z）=x^2+y^2+z^2-1
先求出球面在该点处的外法线n：
f'x=2x,f'y=2y,f'z=2z.又n=（f'x0,f'y0,f'z0）(详见同济高数第五版下册P43)
得法线向量为（2x0,2y0,2z0）
得法向量单位向量为：e=（x0,y0,z0）
又方向导数=u'xcosα+u'ycosβ+u'zcosγ(祥见同济高数第五版下册P47)
所以：方向导数为1*x0+1*y0+1*z0=x0+y0+z0

Answer 2

解:设f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0则有m(x0,y0,z0)点球面的法(外)线l方向存在向量n={fx,fy,fz}|m=2{x0,y0,z0}=2n1
又因为{au/ax,au/ay,au/az}|m={1,1,1}
那么au/al={1,1,1}*{x0,y0,z0}=x0,y0,z0
即得上点（x0,y0,z0）处，沿球面在该点的外法线方向的方向导数au/al={1,1,1}*{x0,y0,z0}=x0,y0,z0
完毕.