Question

对于任意的5个自然数，求证:其中必有三个数的和能被三整除

Answer 1

证明如下：
假设五个数被3整除的余数分别为a，b，c，d，e，则必有0≤a≤2；0≤b≤2；0≤c≤2；0≤d≤2；0≤e≤2；也就是a，b，c，d，e都只能取0或1或2
接下来分两种情况讨论：
1、有不少于3个余数相等：
1）五个都相等：那么任意三个余数之和必定能被3整除，从而得到这三个余数的自然数之和也就能被3整除，结论成立
2）其中有4个余数相等：那么这4个余数的任意3个之和也是可以被3整除的；
3）其中有3个余数相等，同上结论成立
情况1结论成立。
2、5个余数中任意相等的余数个数少于3个
由于余数有0,1,2三种情况，那么必然分为2,2,1三份，
1）若余数为2是一个，那么余数是1和0都为2个：取一个余数为0，一个余数为1，一个余数为2，和为3能被3整除，从而得到这三个余数的自然数之和可以被3整除，成立。
2）若余数为1是一个，同上取法，结论成立
3）若余数为0是一个，同上，结论成立
情况2结论成立。
综上所述，对于任意的5个自然数，其中必有三个数的和能被三整除。命题得证。