Question

a^n-b^n=(a-b)[(a^(n-1)+a^(n-2)*b+...+a*b^(n-2)+b^(n-1)],n是整数 这个公式怎么证明

a^n-b^n=(a-b)[(a^(n-1)+a^(n-2)*b+...+a*b^(n-2)+b^(n-1)],n是整数
我忘了,请各位大虾帮忙.

Answer 1

这是一个等式，证明方法有很多：从左至右，从右至左，证明等价的等式。
1）从右至左的方法就不说了，整式的乘法，去括号，化简就行了。
2）从左至右的方法。
可以有数学归纳法，配凑法等等
说一下数学归纳法吧：
1.当n=1时，有a-b=a-b
n=2时，有a^2-b^2=(a-b)*(a+b）显然成立
2.假设n=k时成立
即有：
a^k-b^k=(a-b)[(a^(k-1)+a^(k-2)*b+...+a*b^(k-2)+b^(k-1)]
则n=k+1时，
a^（k+1）-b^（k+1）=a^（k+1）-a^k*b+a^k*b-b^（k+1）=a^k(a-b)-b(a^k-b^k)
=a^k(a-b)-b{(a-b)[(a^(k-1)+a^(k-2)*b+...+a*b^(k-2)+b^(k-1)]}
=(a-b){a^k-b[a^(k-1)+a^(k-2)*b+...+a*b^(k-2)+b^(k-1)]}
=(a-b)[a^k-a^(k-1)b+a^(k-2)*b^2+...+a*b^(k-1)+b^(k)]
即n=k+1时成立
综上，由数学归纳法的原理知，对一切n为整数，原式成立。
3）证等价的等式
将a-b除到左边来，这样就变成了整式除法，利用法则，很容易得到右边的结果

希望你能明白这些方法

Answer 2

你的课本一定有这道题的详细证明 回去好好找