Question

用数学归纳法证明：对任意的正整数n,有(3n+1)7^n能被9整除

Answer 1

从第二步开始
设n=k时，(3k+1)7^k-1能被9
整除
，
则当n=k+1时，
[3(k+1)+1]7^(k+1)-1=(3k+4)×7^(k+1)-1
=(3k+1)×7^(k+1)+3×7^(k+1)-1
=7(3k+1)×7^(k)+21×7^(k)-1
=[(3k+1)×7^(k)-1]+6(3k+1)×7^(k)+21×7^(k)
=[(3k+1)×7^(k)-1]+(
18k
+27)×7^(k)
∵由假设[(3k+1)×7^(k)-1]能被9整除，(18k+27)×7^(k)显然能被9整除，
∴当n=k+1时，原式能被9整除，
∴命题成立。

Answer 2

n=1时，(3n+1)*7^n-1=4*7-1=27能被9整除
假设n=k时命题成立，(3k+1)*7^k-1能被9整除
那么n=k+1时(3(k+1)+1)*7^(k+1)-1
=(3k+4)*7*7^k-1
=(21k+28)*7^k-1
=(18k+27)*7^k+(3k+1)*7^k-1
容易发现前后都可以被9整除
所以n=k+1时结论成立
综上命题是成立的