Question

函数f(x)是定义在区间(0,+8)上的增函数，且满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1

函数f(x)是定义在区间(0,+8)上的增函数，且满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1 (1)求证f(8)=3 (2)解不等式f(x)-f(x-2)>3

Answer 1

(1):f(8)=f(2×4)=f(2)+f(4)=f(2)+f(2×2)=f(2)+f(2)+f(2)=3
(2):
因为f(2)=f(1×2)=f(1)+f(2)=(f1)+1=1
所以f(1)=0
因为f(1)=f(8×0.125)=f(8)+f(0.125)=3+f(0.125)=0
所以f(0.125)=-3
将f(x)-f(x-2)>3不等式两边乘以-1，得:
f(x-2)-f(x)<-3，即f(x-2)-f(x)<f(0.125)
因为f(xy)-f(x)=f(y)
所以f(x-2)-f(x)=f[(x-2)/x]
因为函数f(x)是定义在区间(0,+8)上的增函数
所以(x-2)/x>0,且(x-2)/x<0.125，得出2<x<16/7