Question

已知椭圆的一个顶点为A(0,-1) 焦点在x轴上 若右焦点到直线x-y+2根号2=0的距离为3

Answer 1

右焦点设为F2(c,0),则|c+2√2|/√2=3，解得c=√2，
又A(0,-1)为顶点，所以b=1，所以a=√3,
于是，椭圆方程为：x²+3y²=3……①
设M(x1,y1),N(x2,y2),MN中点Q(x0,y0)，则有
x1²+3y1²=3……②
x2²+3y2²=3……③
③-②得：(x2-x1)(x2+x1)+3(y2-y1)(y2+y1)=0……④
但x2+x1=2x0,y2+y1=2y0,(y2-y1)/(x2-x1)=k，代入④得
x0+3ky0=0……⑤
因为AM=AN，所以AQ⊥MN，所以(y0+1)/x0=-1/k,即
x0+ky0+k=0……⑥
⑤⑥联立解得：Q(-3k/2,1/2)
代入y=kx+m得：1/2=-3k²/2+m
m=(3k²+1)/2……⑦
因为Q在椭圆面区域内部，
所以(-3k/2)²+(1/2)²<1,即
0≤3k²<1
所以1/2≤(3k²+1)/2<1
即m∈[1/2，1）

Answer 2

（1）根据题意，可设椭圆方程为x^2/a^2+y^/b^2=1a>b>0
而b=1，右焦点设为F（c，0）

由已知得d=(c+2√2)/√2=3
，解得
c=√2，从而a=√3
则椭圆的方程为
x^2/3+y^2=1
（2）设P为线段MN中点，由|AM|=|AN|得MN⊥AP
从而kMN·kAP=－1
①

设M（x1,y1）N(x2,y2)
，Xp=
Yp=
把
y=kx+m代入x^2/3+y^2/1=1
得(3k^2+1)x^2+6kmx+3m^2-3=0
一方面∆=
>0化简m^2<3K^2+1②
另一方面x1+x2=
Y1+Y2=

又A(0,-1)则kmn*kap=-1
代入，整理，得2m^2=3k^2+1③
②③解出0＜m＜2
又因为k^2＞0则m＞0.5即0.5＜m＜2

Answer 3

椭圆的b=1,e^2=2/3=c^2/a^2
∴a^2=3,b^2=1,c^2=2
椭圆方程为:x^2/3+y^2=1
直线与椭圆联立,则:
(1+3k^2)x^2+6kmx+3m^2-3=0
设M（x1，y1）N（x2，y2）直线MN为y=k1X+b
MN中点P(-3km/(1+3k^2),-(3K^2m/1+3K^2)+m)
将A、P代
解得K1=K-（m+1+3k^2m+3k）/3km
∵K1K=-1
∴3k^2=2m-1
2m-m^2>0
即0
∵K^2>0∴3K^2>0即2m-1>0
∴m>1/2……………………………………………………②
综①②可得1/2

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