Question

已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，一个定点为A（0，-1）若右焦点到直线x-y+2√2=0的距离为3

（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线y=kx+m(k≠0）相交与两点M,N。当丨AM丨=丨AN丨时，求m的取值范围。

Answer 1

已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为A（0，-1）若右焦点到直线x-y+2√2=0的距离为3（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线y=kx+m(k≠0）相交与两点M,N。当丨AM丨=丨AN丨时，求m的取值范围。
解：（1）根据题意b=1
右焦点（c，0）
｜c+2√2｜/√2=3
c+2√2=3√2
c=√2
a²=b²+c²=3
椭圆方程：x²/3+y²=1
（2）设M（x1，y1）N（x2，y2）
因为丨AM丨=丨AN丨
所以丨AM丨²=丨AN丨²
x1²+(y1+1)²=x2²+(y2+1)²
化简：(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)+2(y1-y2)=0
(x1+x2)+(y1+y2)*(y1-y2)/(x1-x2)+2(y1-y2)/(x1-x2)=0
将直线y=kx+m代入椭圆方程x²/3+y²=1
整理：(3k²+1)x²+6kmx+3m²-3=0
韦达定理：x1+x2=-6km/(3k²+1)
y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m/(3k²+1)
所以
-6km/(3k²+1)+2m/(3k²+1)*k+2k=0
-4km+6k^3+2k=0
k不等于0
所以k²=(2m+1)/3
k²>0
(2m+1)/3>0
2m+1>0
2m>-1
m>-1/2