Question

已知；如图，在矩形ABCD中M,N分别是边AD，BC的中点，E,F分别是线段BM，CN的中点。

Answer 1

（1）证明:等腰梯形abcd中，∠a＝∠d，∠abc＝∠dcb，且ab＝cd
又，m是ab的中点，所以am＝md
所以，△abm≌△dcm，则bm=cm
又，e、n、f分别是边bm、bc、cm的中点，由中位线定理知：
en平行且等于cm＝mc/2，nf平行且等于bm＝bm/2
所以，边en＝nf＝fm＝me。
故，四边形menf是菱形
（2）分别延长ba、cd交于点o
因为ab＝cd，ad//bc，所以，∠oad＝∠oda,则△oab是等腰三角形
就有oa＝od，又ab＝cd，所以ob＝oc，所以△obc液是等腰三角形
连接om并延长om，则它与bc的交点必为n
因为m、n分别为ad、bc中点，而△oad和△obc都是等腰三角形，所以mn⊥bc
当四边形menf是正方形时，由于mn平分∠emf（这是菱形的性质）
所以∠nmc＝45度，由前面mn⊥bc，所以△mnc为等腰直角三角形
所以，mn＝nc＝bc/2
即，等腰梯形abcd的高是底边bc的一半。

Answer 2

(1)菱形
连接MN,由矩形对称性可知MN为其对称轴
容易证明Rt△MNB≌Rt△MNC,且NE,NF是直角三角形斜边上的中线
∴有ME=EN=NF=FM,∴四边形MENF是菱形
(2)对角线相等的菱形是正方形,因此EF=MN
而根据三角形中位线定理,EF=BC/2,∴MN=AB=BC/2
即AD:AB=2:1时为正方形