Question

求微分方程y'-2xy=2xe^(x^2)的通解,请写出计算过程

Answer 1

这个是非齐次的一阶线性微分方程
首先求它对应的齐次线性方程的解：
y'-2xy=0，dy/dx=2xy，dy/y=2xdx，∫dy/y=∫2xdx，lny+C1=x²+C2，y=Ce^(x²)
①
用常数易变法，把C换成u，即令y=ue^(x²)
②
那么dy/dx=u'e^(x²)+2xue^(x²)
③
②③代入原非齐次线性方程中，得：u'=2x，然后两端积分，得：u=x²+C
将其代入②中，得：y=(x²+C)e^(x²)

Answer 2

直接用一阶线性方程的通解公式：
由于e^(∫-2xdx)=e^(-x^2)
所以：通解=e^(-x^2)（c+∫[2xe^(-x^2)e^(x^2)]dx)
=e^(-x^2)（c+x^2)