Question

f''(x)=e^x-f(x)，求f(x)

Answer 1

f''(x)+f(x)=e^x是二阶线性非齐次常微分方程，它对应的齐次方程为f''(x)+f(x)=0,特征根为±i,1不是特征根，所以方程特解为
f(x)=Ae^x
代入得：
2Ae^x=e^x,得A=1/2所以特解为f(x)=1/2e^x
所以通解为：f(x)=C1cosx+C2sinx+1/2e^x
具体原因我记得高数书上常微分方程那一章有讲，你可以参考一下

Answer 2

f(x)=C*cos(x)+Dsin(x)+(e^x)/2
其中C,D为任意实数
记y=f(x),则y''+y=e^x,
其特征方程为：λ²+1=0，
故它的一个基本解组为：y(1)=cos(x),y(2)=sin(x)
根据右式e^x这项，可设其特解为:a*e^x,将其代入原方程解得a=1/2
故方程通解为:C*cos(x)+D*sin(x)+(e^x)/2

Answer 3

令x=0,可得f(0)=f'(0)/e,把题给等式进一步求导可得等式f'(x)=f'(x)*e^x/e-f(0)+x,令x=0得f'(0)=f'(0)/e-f(0),由以上所得的两式得f(0)=0,代回题给等式和上求得的一等式可联立解得f(x)=x*e^x/(e-e^x)+x^2/2。

Answer 4

因为M交P不为空集，M={x|1/2<=x<=2}

则意思就相当于是f(x)＞ax在1/2≤x≤2的范围里面存在x使得不等式成立

因为这个范围是属于x>0的范围，所以我们可以在x>0的范围里面讨论

因为x>0,所以f(x)＞ax，即e^x-x>ax两边同除以x，不等号不变向，即e^x/x-1>a

则意思就是说在1/2≤x≤2的范围里存在x使得e^x/x-1>a成立

设函数g(x)=e^x/x-1,因为g'(x)=(xe^x-e^x)/x^2=(x-1)e^x/x^2

在x>1的时候g'(x)>0,在x<1的时候g'(x)<0

所以函数g(x)在[1/2,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增

因为g(1/2)=2√e-1,g(2)=e^2/2-1>g(1/2),g(1)=e-1

所以函数g(x)在[1/2,2]里面的值域是[e-1,e^2/2-1]

为了使得存在x∈[1/2,2]使得g(x)>a成立，则a必须小于g(x)的最大值

即a<e^2/2-1