Question

高数 第二换元法

Answer 1

不定积分第二类换元法的精髓就在于“反函数”，将原来式子中复杂的代数式用一个简单的未知变量来将其代换，得到一个等式，用新的、简单的未知量求出积分，再用原来那个等式解出新变量，将其带入最后的结果中。例如求（a^2-x^2）^1/2对x的不定积分，可以用第二换元法设
x=a
sint
（则t=arcsin
x/a），将这一等式中的x代入原来积分式子，得到的只是关于新变量t的三角关系式，这个式子很简单了，可以积分出来，再把t用x代回（即再代回反函数）。
一般地，应用第二类换元法的常见不定积分类型和所作的变量替换有一下三种：
1、含有二次根式的积分，如上面的例子，所做的换元是“三角代换”。
2、被积函数是关于x的有理根式的积分，这时就要用“幂指代换”消去根式。
3、分式函数，且分子的幂低于分母，可以作一个
t=1/x的代换，消去分母中的变量因子，称为“倒代换”。
4、“指数代换”，一般不会用到，若被积函数含有指数函数，可以将指数函数用一个变量代换。
用得最多的是第一种，“三角带换”。只要把反函数搞清楚了，第二类换元法就不难了，精髓在于合理地代换原函数与反函数。
符号不好打出来所以字比较多，多看看课本上的例子吧。