Question

如何利用不动点解决一介递推数列的极限问题

Answer 1

不动点指的是对于a(n+1)=f(an)=pan+q中存在着某一点x0,使得f(x0)=x0,那么该x0就是数列或者说是f(an)里的不动点,对于一阶线性递推来说,不动点往往只有一个.当你令a(n+1)=pan+q为x0=px0+q(p、q已知),就能够求得这一不动点(x0=q/(1-p),p不为1,若p=1,即an为等差数列).那么在求出x0后,就会有a(n+1)-x0=p(an-x0),于是得{an-x0}为等比数列,利用题目给出的条件(比如给出了a1),求得新数列的首项,公比已知为p,从而间接得出an的通项公式,再接下来就可探讨an的极限问题了.
当p>1时,an的极限不存在；
当p=1时,an所有的值落在同一直线上,因此也不存在极限；
当0