Question

用均值不等式求证：周长相等的三角形中，等边三角形面积最大？

用均值不等式求证：周长相等的三角形中，等边三角形面积最大

Answer 1

设三角形的周长为2l。
2l=a+b+c (l为定值)。
则三角形的面积平方为(可由海伦公式得到)
s²=l(l－a)(l－b)(l－c)
≤l((l－a+l－b+l－c)/3)³
=l^4/27。
(基本不等式(a+b+c)/3≥(abc)开三次方)
等号成立当且仅当
l－a=l－b=l－c。
即
a=b=c。
此时为等边三角形。