Question

高中数学题目？

Answer 1

21.(1)F(0，p/2)，
AB的斜率为tan45°=1，AB的方程为y=x+p/2，
代入x^2=2py得x^2-2px-p^2=0，
△=4p^2+4p^2=8p^2，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则、AB、=、x1-x2、√2=√(2△)=4p=4，p=1，
所以抛物线方程为x^2=2y.
(2)y'=x，
l:y=kx+1/2，代入x^2=2y得x^2-2kx-1=0，①
(x-k)^2=k^2+1
x1+x2=2k，x1x2=-1，
取x2=k-√(k^2+1)，
1+x2^2=2kx2+2=2k^2+2-2k√(k^2+1)
过A的切线m的方程为y-y1=x1(x-x1)，即y=x1x-(1/2)x1^2，②
直线BH⊥m，方程为y-y2=x2(x-x2)，即y=x2x-(1/2)x2^2，③
②-③，(x1-x2)x-(1/2)(x1^2-x2^2)=0，
xH=(x1+x2)/2=k
、BH、=、x2-k、√(1+x2^2)，
w=(1/2)BH^2=(K^2+1)[k^2+1-k√(k^2+1)]，
设u=k^2，则w=(u+1)[u+1-√(u^2+u)}，
=(u+1)^2-(u+1)√(u^2+u)，
w'=2u+2-√(u^2+u)-(u+1)(2u+1)/[2√(u^2+u)]=0，
两边都乘以2√(u^2+u)，得2（2u+2）√(u^2+u)-2(u^2+u)-(2u^2+3u+1)=0
整理得4（u+1）√(u^2+u)=(u+1)(4u+1)，
两边除以(u+1)后平方得16(u^2+u)=16u^2+8u+1，
8u=1，u=1/8，
此时w取最小值9/8*（9/8-3/8）=27/32，
BH^2最小值为27/16，
、BH、最小值为3√3/4.