Question

已知线段PA垂直于矩形ABCD所在平面,M,N分别是AB PC中点.求证：MN平行PAD

Answer 1

如图,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M、N分别是AB、PC中点,
（1）求证：MN平行平面PAD
(2)求证：MN⊥CD
(3)若∠PDA=45°,求证：MN⊥平面PCD
证明：
（1）连接AC,取其中点为Q.
在三角形PAC中,QN//PA；在三角形ABC中,MQ//BC//AD
面QMN//面PAD
则MN//面PAD
（2）AB垂直于PA,故AB垂直于QN,
QM//BC,故AB垂直于QM
故AB垂直于面QMN,则AB垂直于MN,MN垂直于CD
（3）取PD中点R,因为CD垂直于面PAD,故AR垂直于CD
等腰直角三角形PAD中,AR垂直于PD
故AR垂直于面PCD.
又因为,NR平行且等于1/2DC//=1/2AB=AM,
故四边形RAMN是平行四边形,AR//MN
所以MN垂直于面PCD