Question

矩阵的秩

Answer 1

我们通过一个例子来学习：如何计算矩阵的秩

假设我们有这样的矩阵：

第一步便是求 行阶梯形矩阵 ，求法就是把

经过一系列的初等变换以后我们得到 行阶梯形矩阵 ：

由于特别像楼梯，所以我们叫做 行阶梯形矩阵 （并不要求，每个阶梯的第一个数必须是 1）

接下来我们把 行阶梯形矩阵 转换成 行最简形矩阵

行最简形矩阵 要求：

现在由于我们的 行阶梯形矩阵 ：阶梯上的第一个元素全为 1，所以我们只需将，第一个 阶梯元素 的其他行变为 0 就行了：

所以我们将 并且 得到：

化到最简我们可以实现：

可以将「行最简形矩阵」经过列变换以后，得到 标准型 矩阵

所谓 k 阶子式就是在原矩阵中，画 k 条横线 k 条竖线，然后取交界。

比如假设我们有这样的矩阵：

它的一阶子式就是：

也不说秩的定义了，直接上结论：

假设我们有矩阵 A，行最简形矩阵中非 0 行的个数叫做矩阵的秩，记做

如果矩阵 A 满秩：

假设矩阵 ，我们有以下结论：