Question

罗尔中值定理的证明

Answer 1

罗尔中值定理：

1、若M=m，则函数f(x)在闭区间[a，b]上必为常函数，结论显然成立。

2、若M>m，则因为f(a)=f(b)使得最大值M与最小值m至少有一个在(a，b)内某点ξ处取得，从而ξ是f(x)的极值点，又条件f(x)在开区间(a，b)内可导得，f(x)在ξ处取得极值，推知：f'(ξ)=0。

罗尔定理罗尔是法国数学家。罗尔在数学上的成就主要是在代数方面，专长于丢番图方程的研究。罗尔于1691年在题为《任意次方程的一个解法的证明》的论文中指出了：在多项式方程的两个相邻的实根之间，方程至少有一个根。

在一百多年后，1846年尤斯托(Giusto Bellavitis)将这一定理推广到可微函数，尤斯托还把此定理命名为罗尔定理。

延申知识：

试讨论下列函数在指定区间内是否存在一个点ξ，使f’(ξ)=0.

(1)f(x)={xsin(1/x), 0<x<=1/π；0, x=0}; (2)f(x)=|x|, -1<=x<=1。

解：(1)f(x)在[0，1/π]上连续，在(0，1/π)上可导， 且有f(0)=f(1/π)=0，由罗尔中值定理知，存在一点ξ∈(0，1/π)，使得f’(ξ)=0。

(2)f(x)在[-1， 1]上连续，但在(-1，1)内x=0上不可导，∴不一定存在一点ξ∈(-1，1)，使f’(ξ)=0。

又 f'(x)={1， x>0; -1， x<0}，∴不存在一点ξ∈(-1，1)，使f’(ξ)=0。