Question

和角公式推导过程

Answer 1

和角公式推导过程如下：

sin (α+β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ   sin (α-β) = sinα·cosβ - cosα·sinβ
cos (α+β) = cosα·cosβ - sinα·sinβ   cos (α-β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ
tan (α-β) = (tanα-tanβ) / (1+tanα·tanβ)tan (α+β) = (tanα+tanβ) / (1-tanα·tanβ)

∠AOB = α，∠AOP = β，|OP| = 1, 单位圆
cos(α-β) = cos∠POM = OM = OB+CP
在△AOB中 OB = OA·cos α
在△APC中 CP = AP·sin∠CAP， 且∠CAP = α  ∴CP = AP·sinα
OM = OA·cos α + AP·sinα
在△AOP中 OA = cosβ ·OP = cosβ
在△AOP中 AP = sinβ·OP = sinβ
∴cos(α-β) = cosβ·cos α + sinβ·sinα
用-β代替β，可得：
cos (α+β) = cosα·cosβ - sinα·sinβ

又tan(α-β) = sin(α-β)/cos(α-β)
= (sinα·cosβ-cosα·sinβ)/(cosα·cosβ+sinα·sinβ)
同除cosα·cosβ,
得tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
同理，tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)