Question

错位相减法的原理是什么？

Answer 1

（乘上公比）再用错位相减法。

形如An=BnCn，其中{Bn}为等差数列，{Cn}为等比数列；分别列出Sn，再把所有式子同时乘以等比数列的公比q，即q·Sn；然后错开一位，两个式子相减。这种数列求和方法叫做错位相减法。

【典例】：求和Sn=1+3x+5x2+7x3+…+(2n-1)·xn-1（x≠0，n∈N*）

当x=1时，Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n2

当x≠1时，Sn=1+3x+5x2+7x3+…+(2n-1)xn-1

∴xSn=x+3x2+5x3+7x4+…+(2n-1)xn

两式相减得(1-x)Sn=1+2(x+x2+x3+x4+…+xn-1)-(2n-1)xn

扩展资料：

错位相减法是一种常用的数列求和方法。应用于等比数列与等差数列相乘的形式。

如果数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和Sn可用此法来求和。

错位相减法是数列求和的一种解题方法。在题目的类型中：一般是a前面的系数和a的指数是相等的情况下才可以用。

典例1：

求和：Sn=a+2a2+3a3+…+nan(a≠0,n∈N*)

分析：分a=1，a≠1两种情况求解，当a=1时为等差数列易求；当a≠1时利用错位相减法即可求得。

解：

(1)当a=1时，Sn=1+2+3+…+n=n（n+1）/2；

(2)当a≠1时，Sn=a+2a2+3a3+…+nan……①

①×a得，aSn= a2+2a3+3a4+……+nan+1 ……②

①-②得，(1-a)Sn=a+(2-1)a2+(3-2)a3+(4-3)a4……+(n-n+1)an-nan+1

(1-a)Sn=a+a2+a3+a4+……+an-nan+1=a（1-a^n）/(1-a）-nan+1

∴Sn=a（1-a^n）/（1-a）^2-（na^(n+1)）/(1-a)

综上所述，

当a=1时，Sn= n(n+1)/2；

当a≠1时，Sn=a（1-a^n）/（1-a）^2-（na^(n+1)）/(1-a)

参考资料：百度百科——错位相减法