Question

求微分方程,原题：(x^2)y''+xy'+y=coslnx (提示：令x=e^t)

Answer 1

令x=e^t,将y化成以t为变量的函数,有
dy/dt=(dy/dx)*(dx/dt)=(dy/dx)e^t=xy'
d^2 y/dt^2=d(dy/dt)/dt=d((dy/dx)e^t)/dt=(dy/dx)e^t+e^t (d^2 y/dt^2)(dx/dt)=xy'+x^2 y''
这里y'表示y对x求导,d^2 y/dt^2表示y对t求2阶导
所以原方程化为
d^2 y/dt^2 +y=cost (*)
此方程对应齐次方程d^2 y/dt^2 +y=0的通解为
y=acost+bsint,其中a,b为任意常数
注意到方程(*)的一个特解为
y=tsint /2
所以方程(*)的通解为
y=tsint /2 +asint+bcost
原方程的通解为
y=lnx sin(lnx) /2 +asin(lnx)+bcos(lnx),其中a,b为常数