Question

如何用向量表示平面的方程？

Answer 1

任取直线上一点（记为M），与直线外已zhi知点（记为N点）构成向量MN，显然MN位于平面内；

根据直线方程得到直线方向向量L，同理L亦位于平面内。将两向量叉积就能得到垂直于待求平面的法向量，最后根据法向量和任一点坐标写出平面的点法式方程。如果不能直接看出直线的方向向量，可以在直线上再选一点P，构成的向量PM就是直线的方向向量。

平面1法向量n1=(1,1,-1),

平面2法向量n2=(2,-1,3),

设所要求的平面法向量n4=(x4,y4,1),

向量n4⊥n3,n4⊥PM，

-2x4/3+5y2/3+1=0,

2x4-y4-1=0,

y4=-1/2,

x4=1/4,

∴法向量n4=(1/4,-1/2,1),

则平面方程为：

(x+1)*(1/4)+(y-2)*(-1/2)+(z-1)*1=0,

即:x-2y+4z+1=0.

若用大学程度来解，则可用两次向量积（叉积）来解，

交线方向向量n3=n1×n2,

| i j k|

n1×n2= | 1 1 -1|

| 2 -1 3|

=2i-5j-3k,

n3=(2,-5,-3),

在二平面交线上有一点M（1，1，0），

向量PM=（2，-1，-1），

所要求的平面法向量n4=n3×PM

扩展资料：

在空间坐标系内，平面的方程均可用是xyz的三元一次方程Ax+By+Cz+D=0来表示。

由于平面的点法式方程A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0是x,y,x的一次方程，而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定，所以任何一个平面都可以用三元一次方程来表示。

参考资料来源：百度百科-平面方程