Question

向量共面的充分与必要条件是什么？

Answer 1

三点式平面方程：ax+by+cz=d

三个向量行列式为零,这说明三个向量组成的矩阵不满秩,也就是说向量组的极大无关组里,向量的个数小于3,就是说,一定有向量可以由其他向量线性表示,这就说说明三个向量共面。

拓展资料：

行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。

行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。

参考资料：行列式-百度百科

Answer 2

三个向量共面的充分必要条件是：这三个向量线性相关。

证明：

必要性：

设三个向量为 A，B，C，且 A，B，C 不共线，则它们可以围成一个平面。因此，向量 C 可以用向量 A 和向量 B 的线性组合表示，即存在实数 k1 和 k2，使得：

C = k1A + k2B

因为 A，B，C 不共线，所以 k1 和 k2 不全为0。所以，C 可以表示为 A 和 B 的线性组合，即 A，B，C 线性相关。

充分性：

设三个向量 A，B，C 线性相关，则存在不全为0的实数 k1，k2，k3，使得：

k1A + k2B + k3C = 0

不失一般性，假设 k3 不等于0。

则有：

C = -k1/k3 A - k2/k3 B

这表明 C 可以表示为 A 和 B 的线性组合，因此，A，B，C 在同一平面上，即三个向量共面。

综上所述，当且仅当三个向量线性相关时，它们共面。

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