Question

一A椭圆 C:x^2/3+y^2=1 的左右焦点分别为F1 ()-|||-F 2,直线 y=x+m？

Answer 1

首先，我们先找到椭圆 C 的焦点坐标 F1 和 F2。
椭圆的标准方程为 x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中 a 和 b 分别是椭圆的长半轴和短半轴。给定的椭圆 C 的方程为 x^2/3 + y^2 = 1，可以看出 a^2 = 3，所以 a = √3。
椭圆的焦点到中心的距离用 c 表示，有关系式 c^2 = a^2 - b^2，带入 a = √3，得 c^2 = 3 - b^2。
由于椭圆 C 的长半轴在 x 轴上，所以左右焦点的 x 坐标分别是 (-c, 0) 和 (c, 0)。
将 c^2 = 3 - b^2 带入，得 c^2 + b^2 = 3，再考虑到焦点与中心关系 b^2 = a^2 - c^2 = 3 - c^2，将其带入，得 2c^2 = 3，进一步解出 c = ±√(3/2)。
所以 F1 的坐标为 (-√(3/2), 0)，F2 的坐标为 (√(3/2), 0)。
接下来，我们考虑直线 y = x + m 与椭圆 C 的交点。
将 y = x + m 带入椭圆 C 的方程 x^2/3 + y^2 = 1，得到：
x^2/3 + (x + m)^2 = 1
x^2 + 3(x + m)^2 = 3
x^2 + 3x^2 + 6mx + 3m^2 = 3
4x^2 + 6mx + 3m^2 - 3 = 0
这是一个关于 x 的二次方程，我们用 Δ 表示它的判别式：
Δ = b^2 - 4ac = (6m)^2 - 4 * 4 * (3m^2 - 3) = 36m^2 + 48
当 Δ > 0 时，方程有两个不同的实数根，这时直线 y = x + m 与椭圆 C 相交于两个点。
当 Δ = 0 时，方程有一个实数根，这时直线 y = x + m 与椭圆 C 相切于一个点。
当 Δ < 0 时，方程没有实数根，这时直线 y = x + m 与椭圆 C 相离，没有交点。
所以要判断 y = x + m 与椭圆 C 的位置关系，只需要判断 Δ 的正负即可。
Δ = 36m^2 + 48 > 0，对于任何 m，Δ 都大于 0，所以直线 y = x + m 与椭圆 C 有两个不同的交点。
因此，直线 y = x + m 与椭圆 C 相交于两个交点，这两个交点就是直线的斜率 m 和椭圆 C 的交点。