Question

若函数f(x)=x3-ax2+2ax存在两个极值,则实数a的取值范围是？

Answer 1

函数f(x)=x3-ax2+2ax的导数为f'(x)=3x^2-2ax+2a。当函数存在极值时，导数f'(x)为0。因此有：
3x^2 - 2ax + 2a = 0
解得：x = (2a ± √(4a^2-24a)) / 6
由于该函数存在两个极值，因此方程应至少有两个实数解，即判别式大于等于0，即：
4a^2 - 24a ≥ 0
化简得：
a(a - 6) ≥ 0
解得，a ∈ (-∞, 0] ∪ [6, +∞)。
因此，实数a的取值范围是a ∈ (-∞, 0] ∪ [6, +∞)。

Answer 2

函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-2ax+2a，极值点对应导数为0，即f'(x)=0。因此有：

3x^2-2ax+2a=0

化简得：

x^2-(2/3)a x + (2/3)a = 0

由题意可知该函数存在两个极值，因此判别式Δ>0：

(2/3)^2 a^2 - 41(2/3)a < 0

化简得：

a(a - 3) < 0

因此，a ∈ (0, 3)。

综上所述，实数a的取值范围是：a ∈ (0, 3)。