Question

设f(u)可导,函数y=y(x)由x^y+y^x=f(x^2+y^2)所确定,则dy=

Answer 1

有好几种方法可以做：
令F(x,y)=x^y+y^x-f(x^2+y^2)
dF(x,y)/dx=yx^(y-1)+y^x*lny-f(x^2+y^2)'（2x);
dF(x,y）/dy=xy^(x-1)+x^y*lnx-f(x^2+y^2)'（2y);
因此dy/dx=-[dF(x,y)/dx]/[dF(x,y）/dy]
=[yx^(y-1)+y^x*lny-f(x^2+y^2)'（2x)]/[xy^(x-1)+x^y*lnx-f(x^2+y^2)'（2y)]
所以dy=-[yx^(y-1)+y^x*lny-f(x^2+y^2)'（2x)]/[xy^(x-1)+x^y*lnx-f(x^2+y^2)'（2y)]*dx（自己化简）
还可以使用全微分法，不过大致都一样

Answer 2

两边求微分：

d(x^y+y^x)=d(f(x^2+y^2))

对x^y可以这么看：先把X看成常数，对Y求微分相当于a^Y，再把Y看成常数对X求微分相当于X^a。那么就好用公式了
如下：d(x^y）= X^Y (Ln X)dY(把Y看成变量，所以为Y求微）+Y*X^(Y-1)dX(把X看成变量，所以为x求微)
同样把后面的一项也这么做：
d(y^x）= y^x (Lny) dx + x * y^(x-1) dy

接下来处理右边：复合函数求导：

d(f(x^2+y^2)) = f'(u)|(u=x^2+y^2) d(x^2+y^2)=
f'(x^2+y^2)[2xdx+2ydy]

结束，把dy整理出来得到：

dy=-[y^x*Lny +y*x^(y-1) - 2x*f'(x^2+y^2)]dx/[x^y*Lnx+x*y^(x-1)-2y*f'(x^2+y^2)] (自己再整理下吧）

f'(x^2+y^2)是对U的求导

Answer 3

二楼正解。