Question

判断y=lg(x+根号（X^2+1))的奇偶性

过程

Answer 1

f(x)=lg[√(x^2+1)+x]
f(-x)=lg[√(x^2+1)-x]
f(x)+f(-x)=lg[√(x^2+1)+x]+lg[√(x^2+1)-x]
=lg[√(x^2+1)+x]*[√(x^2+1)-x]
=lg{[√(x^2+1)]^2-x^2}
=lg(x^2+1-x^2)
=lg1
=0
f(-x)=-f(x)

定义域
√(x^2+1)+x>0
若x>=0,显然成立
若x<0
则√(x^2+1)>-x
两边平方
x^2+1>x^2
1>0,恒成立
所以定义域是R，关于原点对称
所以f(x)是奇函数

Answer 2

解：设y=f(x)=lg(x+根号（x²+1))
∵根号（x²+1)＞根号(x²)=|x|≥-x
∴x+根号（x²+1)＞0，f(x)的定义域为R
又 f(x)+f(-x)=lg(x+根号（x²+1))+lg(-x+根号（(-x)²+1))
=lg(根号（x²+1)+x)+lg(根号（x²+1)-x)
=lg[(根号(x²+1)²-x²]=lg(x²+1-x²)=lg1=0
∴f(-x)=-f(x)
即f(x)为奇函数.