Question

一道高数题

用格林公式计算；∫x*（y^2）dy+（y的3次方）dx,L是圆x^2+y^2=2x 直接粘贴过来的文字性东西不要。要过程！谢谢！
谢谢两位。答案只有选一个，那我只好选一个了。十分感谢雪剑20。

Answer 1

积分:(L)xy^2dy+y^3dx
P(x,y)=y^3,Q(x,y)=xy^2
以e表示偏导符号
eQ/ex=y^2,eP/ey=3y^2

积分:(L)xy^2dy+y^3dx
=积分:(D)(y^2-3y^2)dw(D为:x^2+y^2=2x)
=积分:(D)(-2y^2)dw
=积分:(0,2)dx积分:[根号(2x-x^2),-根号(2x-x^2)](-2y^2)dy
=积分:(0,2)-2/3[(2x-x^2)^(3/2)-(2x-x^2)^(-3/2)]dx
求出这个定积分,就是最后的结果了!

Answer 2

L的方向呢？正向？负向？

设L的方向是正向，∫xy^2dy＋y^3dx＝∫∫(y^2－3y^2)dxdy＝－2∫∫y^2dxdy＝－2∫(－π/2～π/2)dθ∫(0～2cosθ) (ρsinθ)^2ρdρ
＝－8∫(－π/2～π/2)(sinθ)^2(cosθ)^4dθ
＝－16∫(0～π/2)(sinθ)^2(cosθ)^4dθ
＝－16∫(0～π/2)[(cosθ)^4－(cosθ)^6]dθ
＝－16[3/4×1/2×π/2－5/6×3/4×1/2×π/2]＝－π/2