Question

设f(x)=lim(n→∞)（x^(2)e^(n(x-1))+ax+b）/（e^(n(x-1))+1）确定a b 使f(x)处处可导.求f`(x)

Answer 1

f(x)为分段函数
x>1 f(x)=x^2
x=1 f(x)=(x^2+ax+b)/2
x<1 f(x)=ax+b
首先要保证函数是连续的，因此有a+b=1
为了保证可导，即保证函数在x=1可导，则有a=2
再由a+b=10，得b=-1
因此a=2，b=-1
导函数f'(x)也为分段函数
x>1 f'(x)=2x
x≤1 f'(x)=2

Answer 2

f(x)为分段函数
x>1
f(x)=x^2
x=1
f(x)=(x^2+ax+b)/2
x<1
f(x)=ax+b
首先要保证函数是连续的，因此有a+b=1
为了保证可导，即保证函数在x=1可导，则有a=2
再由a+b=10，得b=-1
因此a=2，b=-1
导函数f'(x)也为分段函数
x>1
f'(x)=2x
x≤1
f'(x)=2

Answer 3

分情况讨论:
当x>1时,f(x)=x^2
当x<1时,f(x)=ax+b
当x=1时,f(x)=(a+b+1)/2
由于f(x)处处可导,故f(x)连续
故1=(a+b+1)/2=a+b
故得a+b=1....(1)
又在x=1点左右导数存在且相等,
得lim(x->0){[(1+x)^2-1]/x}=lim(x->0){[a(1-x)+b-1]/x}
故解得a=2...(2)
由(1),(2)知a=2,b=-1
故
f(x)=x^2(x>=1)
f(x)=2x-1(x<1)
f'(x)=2x(x>=1)
f'(x)=2(x<1)