Question

求解一道高中数学题的全过程！！！

已知抛物线C：y^2=-2px(p>0)上横坐标为-3的一点，与其焦点的距离为4。

1.求p
2.设动直线y=x+b与抛物线C相交于A、B 问在直线l:y=2上是否存在与b的取值无关的定点M 使角AMB被直线l平分？

Answer 1

解：(1)由抛物线性质可知
焦点坐标为（-p/2,0）
横坐标为-3的一点，与其焦点的距离为4，所以
（-3+p/2）^2 + 6p = 16
展开得
p^2 + 12p -28 =0
解得p1=-14,p2=2
又p>0
所以p=2

(2)可以确定抛物线方程为
y^2=-4x
这个题目有一个特殊性，就是直线l是y=2，是与x轴平行的，这是解题关键
因为M在L上，可以设点M为（x，2）
把y=x+b代入抛物线方程，求出A,B的坐标
(x+b)^2= -4x
具体求解过程就不写了，而结果也比较复杂~~看清楚点~特别那些根号。。
A坐标为（ -(b+2)+2√(b+1) ,2√[(b+2)-2√(b+1)] ）
B坐标为（ -(b+2) -2√(b+1) ,2√[(b+2)+2√(b+1)] ）
可以化简
A坐标为（ -(√(b+1) -1)^2 ,2(√(b+1) -1) ）
B坐标为（ -(√(b+1) +1)^2 ,2(√(b+1) +1) ）

要使直线L为角AMB的角平分线，而L与X轴平行
所以那就是说直线AM的斜率与BM的斜率为相反数
直线AM斜率为
k1= [2(√(b+1) -1) -2]/ [-(√(b+1) -1)^2 -x]
直线BM斜率为
K2= [2(√(b+1) +1) -2]/ [-(√(b+1) +1)^2 -x]
K1=-k2
[2(√(b+1) -1) -2]/ [-(√(b+1) -1)^2 -x]= -[2(√(b+1) +1) -2]/ [-(√(b+1) +1)^2 -x]
简化得
[2 -√(b+1)] /√(b+1) = [x+b+2- 2√(b+1)]/ [x+b+2+ 2√(b+1)]
若存在这样一个定点，则必须符合以下两个条件
x+b+2=4
x+b+2=0
此方程组无解，所以不存在这样一个定点使得AMB被L平分

其实我觉得应该是存在的，所以不知道正不正确…….但是解法应该是这样的~~

Answer 2

将（-3，4）代入抛物线
P=-3/8
假设存在
A(X1,Y1) B(X2,Y2)
(Y1-2)/AM=(Y2+2)/BM
剩下计算了