Question

如图,直角梯形ABCD中,∠A=∠B=90°,AD//BC,E为AB上一点,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD

如图,直角梯形ABCD中,∠A=∠B=90°,AD//BC,E为AB上一点,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD，以CD为直径的圆与边AD有怎样的位置关系？

Answer 1

直角梯形ABCD中,∠A=∠B=90°
则:∠ADC与∠BCD都不是直角
且:∠ADC+∠BCD=180°而DE平分∠ADC,CE平分∠BCD
所以:∠CED=180°-∠EDC-∠ECD=180°-(∠ADC+∠BCD)/2=90°
可知:E是以CD为直径的圆上的一点
即:AB与圆相切,AD与圆相交

Answer 2

以CD为直径的圆与边AB相切。
∵∠ADC＋∠BCD＝180°,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD，
∴∠EDC＋∠ECD＝90°
∴∠DEC＝90°,△DEC为直角三角形。
过E点作EF⊥CD,
∵DE平分∠ADC,CE平分∠BCD,且∠A＝90° ∠B＝90°
∴EA＝EF,EB＝EF
∴EA＝EB.
设O点为CD的中点，连接OE,则OE＝OD＝OC,
且OE为梯形的中位线，OE⊥AB.
∴以CD为直径的圆与边AB相切。