Question

如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC平分BC并于G,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F

如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC并平分BC于G,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F （1）试说明BE=CF的理由 （2）如果AB=a,AC=b求AE、BE的长 图片地址

Answer 1

证明：
(1)连接BD、CD
因DG垂直且平分BC，所以：BD＝CD
又因为：AD平分∠BAC且DE⊥AB于E,DF⊥AC于F
所以：DE＝DF 又有：∠DEB=∠DFC=90°
可知：△BDE≌△CDF
所以：BE＝CF

(2)DE=DF,AD=AD,∠AED=∠AFD=90°
所以：△AED≌△AFB，则：AE＝AF
即；AB－BE＝AC+CF＝AC+BE
所以：BE＝(AB－AC)/2＝(a-b)/2
AE＝AB－BE＝a-(a-b)/2＝(a+b)/2

Answer 2

证明：连接BD,CD
DG⊥BC于G且平分BC
所以GD为BC垂直平分线
垂直平分线上的点到线段两端点距离相等
BD=CD
角平分线上的点到角两边距离相等
,AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC的延长线于F
所以DE=DF
在RT△BED,RT△CFD中
DE=DF
BD=CD
RT△BED≌RT△CFD(HL)
BE=CF