Question

点A(-2,2)，点B(-3,-1)，在直线l：2x-y-1=0上，求符合要求的点P

（1）PA-PB最大
（2）PA+PB最小
（3）PA^+PB^最小

Answer 1

1.连接AB，并延长AB，交L与点C，该点就是符合PA-PB最大的点P
证明：对于L上任意不与C重合的点D，ABD都构成三角形，两边之差小于第三边，所以，|PA-PB|<AB
这样，解出C点是：（-9，-19）

2.作A关于L的对称点E，连接AE，AE与L的交点F，就是符合PA+PB最小的点P
证明：对于L上任意点G，都有EG=AG，两点间直线距离最短，所以F即是所要求的P点，这样解出F点是：（4/5,3/5）

3.作AM垂直于L，M是垂足，作BN垂直于L，N是垂足，MN的中点H就是满足PA^2+PB^2最小的点
证明：对于L上任意点P，我们有
PM^2+AM^2=PA^2
PN^2+BN^2=PB^2
所以PA^2+PB^2=PM^2+AM^2+PN^2+BN^2
并且我们设P1在MN之外，P2在MN之内，那么，我们容易证明P1M^2+P2N^2>(MN)^2>P2M^2+P2N^2
所以满足条件的P点肯定在MN之间，这样PM+PN=MN=定值
所以PM^2+AM^2+PN^2+BN^2
=AM^2+BN^2+PM^2+PN^2
=AM^2+BN^2+(PM+PN)^2-2PM*PN
<=AM^2+BN^2+(PM+PN)^2-1/2*(PM+PN)^2=AM^2+BN^2+1/2*(PM+PN)^2,是定值，这时PM=PN
所以MN的中点H即是所求的值。

M=F点，（4/5,3/5）
N点求得是（-3/5,-11/5）
所以中点H，即满足条件的P点是：(1/10,-4/5)