Question

在ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列

在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列
求证：△ABC为等边三角形

Answer 1

解：A、B、C成等差数列，即2B＝A＋C 又A＋B＋C＝180，故B＝60
又a、b、c成等比数列，即：b＊2=ac
根据余弦定理：b＊2=a＊2+c＊2-2accosB
故：ac＝a＊2+c＊2-2accos60
化简得：a＊2+c＊2-2ac＝0
即：(a-c)＊2=0
故：a=c
有一个角为60度的等腰三角形是正三角形，故 ：△ABC为等边三角形

Answer 2

证明：设三个内角分别为X，X-Y，X+Y
因为内角和为180度所以
X+X+Y+X-Y=180
所以X=60度
所以三个内角为60度，60+Y度，60-Y度
设三边为m，p*mm/p
由正弦定理得
(m/p)/sin(60-Y)=m*p/sin(60+Y)
sin(60-Y)=p^2*sin(60+Y)
sin60*cosY-cos60-sinY=p^2sin60*cosY+p^2*cos60*sinY
(1-p^2)sin60*cosY=(p^2-1)cos60*sinY
当p=1时等式成立，即三边m=m*p=m/p
则三角形等边
当1-p^2不等于零
上式为
sin60*cosY=cos60*sinY
tanY=tan60
Y=60度
不符合题设，（因为X-Y=0）
所以只能是1-p^2=0
p=1
三边m=m*p=m/p
三角形为等边三角形

Answer 3

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