Question

F1 F2 是椭圆X＾2／4＋Y＾2／3＝1的两个焦点,P是椭圆上位于第二象限的一点,∠PF1F2＝120°,求△PF1F2的面

Answer 1

椭圆X＾2／4＋Y＾2／3＝1，a^2=4,b^2=3,c^2=1
所以焦点为：(1,0)和(-1,0)
设F1为左焦点，PF1=x，PF2=y，P是椭圆上位于第二象限的一点,则：
y>x
F1F2=2c=2
PF1+PF2=x+y=2a=4

根据余弦定理：y^2=x^2+2^2-2*2*y*cos(120)
联立得：y=10/3,x=2/3

△PF1F2的面积S=(2/3)*2*sin(60)/2=√3/3

Answer 2

椭圆X＾2／4＋Y＾2／3＝1，a^2=4,b^2=3,c^2=1
所以焦点为：(1,0)和(-1,0)
设F1为左焦点，PF1=x，PF2=y，P是椭圆上位于第二象限的一点,则：
y>x
F1F2=2c=2
PF1+PF2=x+y=2a=4
由余弦定理：F1F2^2=X^2+Y^2-2*X*Y*cos120°
即：2^2=X^2+Y^2-2*X*Y*cos120°
因cos120°=-0.5
所以有X^2+Y^2+X*Y=4
变形得（X+Y）^2-X*Y=4
由前知X+Y=4代入上式
得4^2-X*Y=4
所以X*Y=12
所以三角形的面积S=（1/2）*X*Y*sin120°=（1/2）*12*（√3/2）
=3*√3