Question

已知AB,CD是夹在两个平面α,β之间的线段,M,N分别为AB,CD的中点,求证:MN‖平面α

Answer 1

证明：设A,C在面a内，B,D在面b内，过A作AE//CD交面b于E，取AE中点P，连结MP,NP,AC,ED,BE
因为AE//CD
所以AEDC确定一平面c
因为AC为面a与面c交线
因为ED为面b与面c
交线
因为面a//面b
所以AC//ED
又因为AE//CD
所以AEDC为平行四边形
因为N,P为CD,AE中点
所以ND//PE且ND=PE
所以NP//ED
因为ED在面b内
所以ED//面b
因为M,P为AB,AE中点
所以MP//BE
因为BE在面b内
所以MP//面b
因为MP,NP交于P且可确定面d
则面d//面b
因为MN在面d内
所以MN//面b
因为面a//面b
所以MN//面a

本人手机不好输入阿尔法，贝它，所以用a,b代替。

Answer 2

证明：设A,C在面α内，B,D在面β内，过A作AE//CD交面b于E，取AE中点P，连MP,NP,AC,ED,BE
∵AE//CD
∴AEDC确定一平面c
∵AC为面α与面γ交线
又∵ED为面β与面γ交线
∵面α//面β
∴AC//ED
又∵AE//CD
∴AEDC为平行四边形
∵N,P为CD,AE中点
∴ND//PE且ND=PE
∴NP//ED
∵ED在面β内
∴ED//面β
∵M,P为AB,AE中点
∴MP//BE
∵BE在面β内
∴MP//面β
∵MP,NP交于P且可确定一个平面
则面MPN//面β
∵MN在面MPN内
∴MN//面β
∵面α//面β
∴MN//面α