Question

线性代数解空间基的问题

书上写解空间中的向量是n维的即S{ξ│Aξ=0 ξ∈Rn}但是后面又证出该解空间的维数为n-r,为什么n-r维的空间里会有n维向量，答好了重赏啊....

Answer 1

不矛盾，前者是从列向量长度连说的，后者是从无关的解向量个数上来说的。

解空间的向量是n维的是说你的列向量长度是n个数字，比如（1，2，3，。。。，n）这样的。这样的向量叫n维向量。也就是ξ∈Rn，其中Rn是所有列向量长度为n的向量构成的空间，所有的列向量长度是n个数字的向量都包含在里面。

然后说说，你所说的解空间的维度是n-r，它的意思是说，你至少能用一组数量为（n-r)的列向量长度为n的向量就能将所有的解向量表示出来。高等代数里面经常会这样讲，要是在线性代数理他会说，通解的秩为（n-r），你想呀，A一定是n维的吧，那么如果A的秩是r，那么一定有解ξ的秩为n-r吧（也就是最大无关的通解数量），故而就叫做，它的那个解空间的维度是n-r。

高等代数就是这样狗屎一般，哎。。。。。。。。希望楼主明白。我写的听通俗的了，建议楼主可以先从线性代数入手。

Answer 2

不矛盾，前者是从列向量长度连说的，后者是从无关的解向量个数上来说的。

解空间的向量是n维的是说你的列向量长度是n个数字，比如（1，2，3，。。。，n）这样的。这样的向量叫n维向量。也就是ξ∈Rn，其中Rn是所有列向量长度为n的向量构成的空间，所有的列向量长度是n个数字的向量都包含在里面。

然后说说，你所说的解空间的维度是n-r，它的意思是说，你至少能用一组数量为（n-r)的列向量长度为n的向量就能将所有的解向量表示出来。高等代数里面经常会这样讲，要是在线性代数理他会说，通解的秩为（n-r），你想呀，A一定是n维的吧，那么如果A的秩是r，那么一定有解ξ的秩为n-r吧（也就是最大无关的通解数量），故而就叫做，它的那个解空间的维度是n-r。
ξ∈Rn,只说明了，在ξ有n列，解空间的维数是等于基础解系构成的向量组的秩，如，基础解系为，ξ1，ξ2，ξ3....ξn(都是有n列的向量，即ξ1=（a1,a2,....an）^T)
由这n个列向量构成的向量组{ξ1，ξ2，ξ3....ξn}的秩为n-r(因系数矩阵的秩为r),那么由向量空间和向量组的关系，向量空间的一个基就是向量组的一个最大无关组，也就是说向量空间的维数是和向量组的秩是相等的。
再比如吧：向量空间
V={X=(0,x2...xn)^T|x2....xn∈R}
这里不难看出向量空间V只是个n-1维的空间，但每个向量都是有n列的，和你问的解空间问题是

Answer 3

ξ∈Rn,只说明了，在ξ有n列，解空间的维数是等于基础解系构成的向量组的秩，如，基础解系为，ξ1，ξ2，ξ3....ξn(都是有n列的向量，即ξ1=（a1,a2,....an）^T)
由这n个列向量构成的向量组{ξ1，ξ2，ξ3....ξn}的秩为n-r(因系数矩阵的秩为r),那么由向量空间和向量组的关系，向量空间的一个基就是向量组的一个最大无关组，也就是说向量空间的维数是和向量组的秩是相等的。
再比如吧：向量空间
V={X=(0,x2...xn)^T|x2....xn∈R}
这里不难看出向量空间V只是个n-1维的空间，但每个向量都是有n列的，和你问的解空间问题是一样的。