Question

如图,正方形ABCD中AC、BD相交于O,E、F分别为BC、OD的中点,求证AF垂直于EF

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Answer 1

设正方形的边长为4a
过F作FG⊥BC于G,连接OE、AE，延长GF交AD于H点
OA=AB/√2=4a/√2=2√2a,OF=OA/2=√2a
则AF^2=OA^2+OF^2=(2√2a)^2+(√2a)^2=10a^2
很明显三角形DFH是等腰直角三角形，DH=HF
所以:DH^2+HF^2=2DH^2=DF^2,可得出DH=DF/√2=√2a/√2=a
可知:FG=GH-FH=4a-a=3a，EG=CE/2=BC/4=a
则EF^2=EG^2+FG^2=a^2+(3a)^2=10a^2
而AE^2=AB^2+BE^2=(4a)^2+(2a)^2=20a^2
因为 AF^2+EF^2=AE^2
所以 AF⊥EF