求函数单调性的基本方法?
求导是什么意思?为什么变成平方了?我的是3此方啊 展开
1. 定义法:证明函数单调性一般用定义,如果函数解析式异常复杂或者具有某种特殊形式,可以采用函数单调性定义的等价形式证明。
2.性质法: 熟练掌握基本初等函数的单调性及其单调区间。理解并掌握判断复合函数单调性的方法(同增异减。)
3. 高三选修课本有导数及其应用,用导数求函数的单调区间一般是非常简便的。
拓展资料:
函数的定义:给定一个数集A,假设其中的元素为x。现对A中的元素x施加对应法则f,记作f(x),得到另一数集B。假设B中的元素为y。则y与x之间的等量关系可以用y=f(x)表示。我们把这个关系式就叫函数关系式,简称函数。
函数的单调性就是随着x的变大,y在变大就是增函数,y变小就是减函数,具有这样的性质就说函数具有单调性,符号表示:就是定义域内的任意取x1,x2,且x1<x2,比较f(x1),f(x2)的大小,图像上看从左往右看图像在一直上升或下降的就是单调函数。
常用方法:
1.导数
2.构造基本初等函数(已知单调性的函数)
3.复合函数:根据同增异减口诀,先判断内层函数的单调性,再判断外层函数单调性,在同一定义域上,若两函数单调性相同,则此复合函数在此定义域上为增函数,反之则为减函数。
4.定义法
5.数形结合
6.复合函数的单调性一般是看函数包含的两个函数的单调性:
(1)如果两个都是增的,那么函数就是增函数;
(2)一个是减一个是增,那就是减函数 ;
(3)两个都是减,那就是增函数。
拿你举的例子来说:
首先,确定函数的定义域:R.
第二步,令X1<X2,F(X1)-F(X2)=X1^3-3(X1)-X2^3+3(X2)=(X1-X2)(X1^2+X1X2+X2^2-3)其中(X1-X2)<0,所以只要判断后面的(X1^2+X1X2+X2^2-3)的符号即可。但是这个地方有点复杂,一会我解答了再论述。所以一般情况下,求单调区间都用求导的方法,因为求导要简单很多。
二、要是你学过导数的话(一般高二好像都学了),就可以采取导数的方法解决函数单调性的问题了。
具体方法为求F(X)的导数F(X)',令F(x)’<0,得到x的范围即是F(X)的单调递减区间;若F(X)’>0,则得到的X的区间为F(X)的单调递增区间。(其原因你画下图像就很明显了).
拿你的例子来说吧。
第一步还是确定定义域:为R. 第二步求导,为F(X)’=3X^2-3。第三步,求区间:令F(X)’>0有X>1或X<-1,所以F(X)的增区间为(1,正无穷)和(负无穷,-1);令F(X)’<=0,有-1<=X<=1,所以F(X)的减区间为[-1,1]。端点取在哪儿都可以,连续函数的话不影响其单调性。
最后总结一下即可。
1、导数法
首先对函数进行求导,令导函数等于零,得X值,判断X与导函数的关系,当导函数大于零时是增函数,小于零是减函数。
2、定义法
设x1,x2是函数f(x)定义域上任意的两个数,且x1<x2,若f(x1)<f(x2),则此函数为增函数;反知,若f(x1)>f(x2),则此函数为减函数.
3、性质法
若函数f(x)、g(x)在区间B上具有单调性,则在区间B上有:
① f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性;
②f(x)与c•f(x)当c>0具有相同的单调性,当c<0具有相反的单调性;
③当f(x)、g(x)都是增(减)函数,则f(x)+g(x)都是增(减)函数;
④当f(x)、g(x)都是增(减)函数,则f(x)•g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数,当两者都恒小于0时也是减(增)函数;
4、复合函数同增异减法
对于复合函数y=f [g(x)]满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域),令 t=g(x),则三个函数 y=f(t)、t=g(x)、y=f [g(x)]中,若有两个函数单调性相同,则第三个函数为增函数;若有两个函数单调性相反,则第三个函数为减函数。
拓展资料:
函数的定义:
给定一个数集A,假设其中的元素为x。现对A中的元素x施加对应法则f,记作f(x),得到另一数集B。假设B中的元素为y。则y与x之间的等量关系可以用y=f(x)表示。我们把这个关系式就叫函数关系式,简称函数。
函数单调性的定义:
一般的,设函数y=f(X)的定义域为A,I↔A,如对于区间内任意两个值X1、X2,
1)、当X1<X2时,都有f(X1)<f(X2),那么就说y=f(x)在区间I上是单调增函数,I称为函数的单调增区间;
2)、当X1>X2时,都有f(X1)>f(X2),那么就说y=f(x)在区间I上是单调减函数,I称为函数的单调减区间。
令F’(x)>0,可得到单调递增区间(-∞,-1)∪(1,+∞),同理单调递减区间[-1,1]
复合函数还可以用规律法,对于F(g(x)),如果F(x),g(x)都单调递增(减),则复合函数单调递增;否则,单调递减。口诀:同增异减。
还可以使用定义法,就是求差值的方法。
拓展资料
导数:导数是变化率、是切线的斜率、是速度、是加速度;导数是用来找到“线性近似”的数学工具;导数是线性变换,这是导数的三重认识,定义是函数值的变化量比上自变量的变化量。