Question

设对任意的x,y，恒有f(x+y)=e^yf(x)+e^xf(y) 其中函数f可导 且在0点倒数为2 求f(x)

设对任意的x,y，恒有f(x+y)=e^yf(x)+e^xf(y) 其中函数f可导 且在0点倒数为2 求f(x)

Answer 1

两边同时除以e^(x+y)得
f(x+y)/e^(x+y)=f(x)/e^x+f(y)/e^y
所以令f(x)/e^x=g(x)，上式变成g(x+y)=g(x)+g(y).容易知道g(0)=0
题目已知f'(0)=2.
又f'(x)=(g(x)+g'(x))e^x，故得g(0)+g'(0)=2,g'(0)=2
g'(x)=lim(g(t+x)-g(x))/t=limg(t)/t=lim(g(t)-g(0))/(t-0)=g'(0)=2
所以g(x)=2x+g(0)=2x
f(x)=2xe^x

Answer 2

令
x=y
=0
f(0)
=
f(0)
+
f(0)
=>f(0)
=
0
f'(x)=
lim(y->0)[f(x+y)
-
f(x)]/y
=
lim(y->0)[e^xf(y)+e^yf(x)
-
f(x)]/y
=
e^x
lim(y->0)[f(0+y)-f(0)]/y
+
f(x)
lim(y->0)(
e^y
-
1)/y
=
e^xf'(0)
+
f(x)
=
e^(x+1)
+
f(x)
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Answer 3

f(x)=2xe^x