Question

一道高一关于集合的奥数题，高分求高手

设集合M=｛1，2，…，1000｝，现对M的任一非空子集X，令Ax表示X中最大数与最小数之和，那么所有这样的Ax的算术平均值为多少?

请诸位高手说出详细过程，如果可以我还可以加分！
前两位高手的回答还是看不怎么明白，能再说易懂些吗?谢谢
请问一下diggingdog，为什么含1000的子集有2^999个？是怎么找出来的呢？

Answer 1

http://hi.baidu.com/ggggwhw/blog/item/ce25f21078d21ac1a6ef3f5a.html
既然楼主看不明白,我就移到我的空间了,免得以后没选上现眼.

Answer 2

首先，非空子集的个数是2^1000-1
要求所有Ax的和，先求最大数的和：
含1000的子集有2^999个，不含1000、含999的子集有2^998
不含1000、999，含998的有2^997个
……
只含1的子集有2^0=1个
最大数的和为1000*2^999+999*2^998+998*2^997+……+1*2^0

同理，最小数的和：
含1的子集有2^999个，不含1、含2的有2^998
只含1000的有2^0=1个

最小数的和为1*2^999+2*2^998+3*2^997+……+1000*2^0
两式相加为1001（1+2+4+……+2^999）=1001(2^1000-1)

于是Ax的算术平均值为1001

Answer 3

1

Answer 4

2楼3楼正解

Answer 5

所有这样的Ax的算术平均值可表示为下面这种形式：
[(最小数+最大数)+(最小数+最大数)+......(最小数+最大数)]/(2^1000-1)=
[(最小数+最小数+......最小数)+(最大数+最大数+......最大数)]/(2^1000-1)
(2^1000-1)表示所有非空子集的个数，也是AX的个数,Ax表示非空子集X中最大数与最小数之和。因此只要算出最小数之和与最大数之和问题就解决了。含1000的子集有多少个呢，可以这样理解：如何从M中取出一个含1000的子集？肯定要先取出元素1000，那么对于1我们可取也可不取，2也是如此，3也是如此。。。。999也是如此，最后含1000的子集就有2^999个，子集最大元素为1000的2^999个子集都是要参与上面平均值计算的，后面的都是同理。这就是3楼的正解了！子集最大元素为999的肯定不含1000了，因为是最大元素，所以这样的子集个数为2^998，其它依此类推！