在如图的扇形中正方形的面积为30平方厘米，求阴影面积
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对于一些比较复杂的组合图形，有时直接分解有一定的困难，这时，可以通过把其中的部分图形进行平移、翻折或旋转，化难为易。有些图形可以根据“容斥问题“的原理来解答。在圆的半径r用小学知识无法求出时，可以把“r2”整体地代入面积公式求面积。
例题1。
如图20－1所示，求图中阴影部分的面积。
45○
10
45○
10
20－2
20－1
【思路导航】
解法一：阴影部分的一半，可以看做是扇形中减去一个等腰直角三角形（如图20－2），等腰直角三角形的斜边等于圆的半径，斜边上的高等于斜边的一半，圆的半径为20÷2＝10厘米
【3.14×102×－10×（10÷2）】×2＝107（平方厘米）
答：阴影部分的面积是107平方厘米。
解法二：以等腰三角形底的中点为中心点。把图的右半部分向下旋转90度后，阴影部分的面积就变为从半径为10厘米的半圆面积中，减去两直角边为10厘米的等腰直角三角形的面积所得的差。
45○
20－3
（20÷2）2×－（20÷2）2×＝107（平方厘米）
答：阴影部分的面积是107平方厘米。
练习1
如图20－4所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）
如图20－5所示，用一张斜边为29厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边为49厘米的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形。求红蓝两张三角形纸片面积之和是多少？
C
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49
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6
45○
B
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20－5
A
D
20－4
例题2。
如图20－6所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。
a
4
减去
20－7
6
20－6
【思路导航】
解法一：先用长方形的面积减去小扇形的面积，得空白部分（a）的面积，再用大扇形的面积减去空白部分（a）的面积。如图20－7所示。
3.14×62×－（6×4－3.14×42×）＝16.82（平方厘米）
解法二：把阴影部分看作（1）和（2）两部分如图20－8所示。把大、小两个扇形面积相加，刚好多计算了空白部分和阴影（1）的面积，即长方形的面积。
减
加
（2）
（1）
20－8
3.14×42×+3.14×62×－4×6＝16.28（平方厘米）
答：阴影部分的面积是16.82平方厘米。
A
练习2
A
B
C
D
2
60○
20－11
20－10
B
20－9
C
如图20－9所示，△ABC是等腰直角三角形，求阴影部分的面积（单位：厘米）。
如图20－10所示，三角形ABC是直角三角形，AC长4厘米，BC长2厘米。以AC、BC为直径画半圆，两个半圆的交点在AB边上。求图中阴影部分的面积。
如图20－11所示，图中平行四边形的一个角为600，两条边的长分别为6厘米和8厘米，高为5.2厘米。求图中阴影部分的面积。
例题3。
在图20－12中，正方形的边长是10厘米，求图中阴影部分的面积。
20－14
20－13
20－12
【思路导航】
解法一：先用正方形的面积减去一个整圆的面积，得空部分的一半（如图20－13所示），再用正方形的面积减去全部空白部分。
空白部分的一半：10×10－（10÷2）2×3.14＝21.5（平方厘米）
阴影部分的面积：10×10－21.5×2＝57（平方厘米）
解法二：把图中8个扇形的面积加在一起，正好多算了一个正方形（如图20－14所示），而8个扇形的面积又正好等于两个整圆的面积。
（10÷2）2×3.14×2－10×10＝57（平方厘米）
答：阴影部分的面积是57平方厘米。
练习3
求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。
3
4
10
10
5
20－17
20－16
20－15
例题4。
在正方形ABCD中，AC＝6厘米。求阴影部分的面积。
D
C
B
A
D
C
B
A
20－18
【思路导航】这道题的难点在于正方形的边长未知，这样扇形的半径也就不知道。但我们可以看出，AC是等腰直角三角形ACD的斜边。根据等腰直角三角形的对称性可知，斜边上的高等于斜边的一半（如图20－18所示），我们可以求出等腰直角三角形ACD的面积，进而求出正方形ABCD的面积，即扇形半径的平方。这样虽然半径未求出，但可以求出半径的平方，也可以把半径的平方直接代入圆面积公式计算。
既是正方形的面积，又是半径的平方为：6×（6÷2）×2＝18（平方厘米）
阴影部分的面积为：18－18×3.14÷4＝3.87（平方厘米）
答：阴影部分的面积是3.87平方厘米。
练习4
如图20－19、20－20所示，图形中正方形的面积都是50平方厘米，分别求出每个图形中阴影部分的面积。
如图20－21所示，正方形中对角线长10厘米，过正方形两个相对的顶点以其边长为半径分别做弧。求图形中阴影部分的面积（试一试，你能想出几种办法）。
20－21
20－20
20－19
例题5。
在图20－22的扇形中，正方形的面积是30平方厘米。求阴影部分的面积。
A
B
A
B
20－22
【思路导航】阴影部分的面积等于扇形的面积减去正方形的面积。可是扇形的半径未知，又无法求出，所以我们寻求正方形的面积与扇形面积的半径之间的关系。我们以扇形的半径为边长做一个新的正方形（如图20－23所示），从图中可以看出，新正方形的面积是30×2＝60平方厘米，即扇形半径的平方等于60。这样虽然半径未求出，但能求出半径的平方，再把半径的平等直接代入公式计算。
3.14×（30×2）×－30＝17.1（平方厘米）
答：阴影部分的面积是17.1平方厘米。
练习5
如图20－24所示，平行四边形的面积是100平方厘米，求阴影部分的面积。
如图20－25所示，O是小圆的圆心，CO垂直于AB,三角形ABC的面积是45平方厘米，求阴影部分的面积。
A
A
D
如图20－26所示，半圆的面积是62.8平方厘米，求阴影部分的面积。
O
C
C
B
O
45○
B
20－26
20－25
20－24
答案：
练1
如图答20－1所示，因三角形BCD中BC边上高等于BC的一半，所以阴影部分的面积是：62×3.14×－6×（6÷2）×＝5.13平方厘米
如图答20－2所示，将红色直角三角形纸片旋转900，红色和蓝色的两个直角三角形就拼成了一个直角边分别是49厘米和29厘米的直角三角形，因此，所求的面积为：
49×29×＝710.5平方厘米
练2
如图答20－3所示，可以看做两个半圆重叠在一起，从中减去一个三角形的面积就得到阴影部分的面积。
（2÷2）2×3.14××2－2×2×＝1.14平方厘米
思路与第一题相同
（4÷2）2×3.14×+（2÷2）2×3.14×－4×2×＝3.85平方厘米
如图答20－4所示，用大小两个扇形面积和减去一个平行四边形的面积，即得到阴影部分的一半，因此阴影部分的面积是：
【（82+62）×3.14×－8×5.2】×2＝21平方厘米
练3
如图答20－5所示，阴影部分的面积等于四个半圆的面积减去一个正方形的面积，即：
（10÷2）2×3.14××4－10×10＝57平方厘米
如图答20－6所示，阴影部分的面积等于半圆与扇形面积的和，减去一个三角形的面积，即：102×3.14×+（10÷2）2×3.14×－10×10× ＝28.5平方厘米
如图答20－7所示，整个图形的面积等于两个半圆的面积加上一个三角形的面积，用整个图形的面积减去一个最大半圆的面积就等于阴影部分的面积，即：
（4÷2）2×3.14×+（3÷2）2×3.14×+4×3×－（5÷2）2×3.14×＝6平方厘米
练4
（1）因为圆的半径的平方等于正方形面积的，所以阴影部分的面积是
（50÷4）×3.14＝39.25平方厘米
（2）因为扇形半径的平方等于正方形的面积，所以，阴影部分的面积是
50－50×3.14×＝1075平方厘米
提示：仔细阅读例4，仿照例4先求扇形半径的平方，然后设法求出阴影部分的面积。
10×（10÷2）×3.14××2－10×（10÷2）＝28.5平方厘米
练5
如图答20－8所示，连结AC可以看出平行四边形面积的一半等于圆半径的平方，所以，阴影部分的面积是100÷2×3.14×－100×＝14.25平方厘米
如图答20－9所示，
（1）因为三角形ABC的面积等于小圆半径的平方，所以小圆的面积的一半是45×3.14×＝70.65平方厘米
（2）因为大圆半径的平方等于三角形ABC面积的2倍，所以大圆的面积的是45×2×3.14×＝70.65平方厘米
（3）弓形AB的面积是70.65－45＝25.65平方厘米
（4）阴影部分的面积是70.65－25.65＝45平方厘米
3、 如图答20－10所示，
（1）半圆半径的平方是62.8×2+3.14＝40平方厘米
（2）三角形AOB的面积是40÷2＝20平方厘米
（3）阴影部分所在圆的半径的平方是40×2＝80平方厘米
（4）阴影部分的面积是80×3.14×－20＝11.4平方厘米
例题1。
如图20－1所示，求图中阴影部分的面积。
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10
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20－2
20－1
【思路导航】
解法一：阴影部分的一半，可以看做是扇形中减去一个等腰直角三角形（如图20－2），等腰直角三角形的斜边等于圆的半径，斜边上的高等于斜边的一半，圆的半径为20÷2＝10厘米
【3.14×102×－10×（10÷2）】×2＝107（平方厘米）
答：阴影部分的面积是107平方厘米。
解法二：以等腰三角形底的中点为中心点。把图的右半部分向下旋转90度后，阴影部分的面积就变为从半径为10厘米的半圆面积中，减去两直角边为10厘米的等腰直角三角形的面积所得的差。
45○
20－3
（20÷2）2×－（20÷2）2×＝107（平方厘米）
答：阴影部分的面积是107平方厘米。
练习1
如图20－4所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）
如图20－5所示，用一张斜边为29厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边为49厘米的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形。求红蓝两张三角形纸片面积之和是多少？
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例题2。
如图20－6所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。
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减去
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【思路导航】
解法一：先用长方形的面积减去小扇形的面积，得空白部分（a）的面积，再用大扇形的面积减去空白部分（a）的面积。如图20－7所示。
3.14×62×－（6×4－3.14×42×）＝16.82（平方厘米）
解法二：把阴影部分看作（1）和（2）两部分如图20－8所示。把大、小两个扇形面积相加，刚好多计算了空白部分和阴影（1）的面积，即长方形的面积。
减
加
（2）
（1）
20－8
3.14×42×+3.14×62×－4×6＝16.28（平方厘米）
答：阴影部分的面积是16.82平方厘米。
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练习2
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如图20－9所示，△ABC是等腰直角三角形，求阴影部分的面积（单位：厘米）。
如图20－10所示，三角形ABC是直角三角形，AC长4厘米，BC长2厘米。以AC、BC为直径画半圆，两个半圆的交点在AB边上。求图中阴影部分的面积。
如图20－11所示，图中平行四边形的一个角为600，两条边的长分别为6厘米和8厘米，高为5.2厘米。求图中阴影部分的面积。
例题3。
在图20－12中，正方形的边长是10厘米，求图中阴影部分的面积。
20－14
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【思路导航】
解法一：先用正方形的面积减去一个整圆的面积，得空部分的一半（如图20－13所示），再用正方形的面积减去全部空白部分。
空白部分的一半：10×10－（10÷2）2×3.14＝21.5（平方厘米）
阴影部分的面积：10×10－21.5×2＝57（平方厘米）
解法二：把图中8个扇形的面积加在一起，正好多算了一个正方形（如图20－14所示），而8个扇形的面积又正好等于两个整圆的面积。
（10÷2）2×3.14×2－10×10＝57（平方厘米）
答：阴影部分的面积是57平方厘米。
练习3
求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。
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例题4。
在正方形ABCD中，AC＝6厘米。求阴影部分的面积。
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【思路导航】这道题的难点在于正方形的边长未知，这样扇形的半径也就不知道。但我们可以看出，AC是等腰直角三角形ACD的斜边。根据等腰直角三角形的对称性可知，斜边上的高等于斜边的一半（如图20－18所示），我们可以求出等腰直角三角形ACD的面积，进而求出正方形ABCD的面积，即扇形半径的平方。这样虽然半径未求出，但可以求出半径的平方，也可以把半径的平方直接代入圆面积公式计算。
既是正方形的面积，又是半径的平方为：6×（6÷2）×2＝18（平方厘米）
阴影部分的面积为：18－18×3.14÷4＝3.87（平方厘米）
答：阴影部分的面积是3.87平方厘米。
练习4
如图20－19、20－20所示，图形中正方形的面积都是50平方厘米，分别求出每个图形中阴影部分的面积。
如图20－21所示，正方形中对角线长10厘米，过正方形两个相对的顶点以其边长为半径分别做弧。求图形中阴影部分的面积（试一试，你能想出几种办法）。
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例题5。
在图20－22的扇形中，正方形的面积是30平方厘米。求阴影部分的面积。
A
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【思路导航】阴影部分的面积等于扇形的面积减去正方形的面积。可是扇形的半径未知，又无法求出，所以我们寻求正方形的面积与扇形面积的半径之间的关系。我们以扇形的半径为边长做一个新的正方形（如图20－23所示），从图中可以看出，新正方形的面积是30×2＝60平方厘米，即扇形半径的平方等于60。这样虽然半径未求出，但能求出半径的平方，再把半径的平等直接代入公式计算。
3.14×（30×2）×－30＝17.1（平方厘米）
答：阴影部分的面积是17.1平方厘米。
练习5
如图20－24所示，平行四边形的面积是100平方厘米，求阴影部分的面积。
如图20－25所示，O是小圆的圆心，CO垂直于AB,三角形ABC的面积是45平方厘米，求阴影部分的面积。
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如图20－26所示，半圆的面积是62.8平方厘米，求阴影部分的面积。
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答案：
练1
如图答20－1所示，因三角形BCD中BC边上高等于BC的一半，所以阴影部分的面积是：62×3.14×－6×（6÷2）×＝5.13平方厘米
如图答20－2所示，将红色直角三角形纸片旋转900，红色和蓝色的两个直角三角形就拼成了一个直角边分别是49厘米和29厘米的直角三角形，因此，所求的面积为：
49×29×＝710.5平方厘米
练2
如图答20－3所示，可以看做两个半圆重叠在一起，从中减去一个三角形的面积就得到阴影部分的面积。
（2÷2）2×3.14××2－2×2×＝1.14平方厘米
思路与第一题相同
（4÷2）2×3.14×+（2÷2）2×3.14×－4×2×＝3.85平方厘米
如图答20－4所示，用大小两个扇形面积和减去一个平行四边形的面积，即得到阴影部分的一半，因此阴影部分的面积是：
【（82+62）×3.14×－8×5.2】×2＝21平方厘米
练3
如图答20－5所示，阴影部分的面积等于四个半圆的面积减去一个正方形的面积，即：
（10÷2）2×3.14××4－10×10＝57平方厘米
如图答20－6所示，阴影部分的面积等于半圆与扇形面积的和，减去一个三角形的面积，即：102×3.14×+（10÷2）2×3.14×－10×10× ＝28.5平方厘米
如图答20－7所示，整个图形的面积等于两个半圆的面积加上一个三角形的面积，用整个图形的面积减去一个最大半圆的面积就等于阴影部分的面积，即：
（4÷2）2×3.14×+（3÷2）2×3.14×+4×3×－（5÷2）2×3.14×＝6平方厘米
练4
（1）因为圆的半径的平方等于正方形面积的，所以阴影部分的面积是
（50÷4）×3.14＝39.25平方厘米
（2）因为扇形半径的平方等于正方形的面积，所以，阴影部分的面积是
50－50×3.14×＝1075平方厘米
提示：仔细阅读例4，仿照例4先求扇形半径的平方，然后设法求出阴影部分的面积。
10×（10÷2）×3.14××2－10×（10÷2）＝28.5平方厘米
练5
如图答20－8所示，连结AC可以看出平行四边形面积的一半等于圆半径的平方，所以，阴影部分的面积是100÷2×3.14×－100×＝14.25平方厘米
如图答20－9所示，
（1）因为三角形ABC的面积等于小圆半径的平方，所以小圆的面积的一半是45×3.14×＝70.65平方厘米
（2）因为大圆半径的平方等于三角形ABC面积的2倍，所以大圆的面积的是45×2×3.14×＝70.65平方厘米
（3）弓形AB的面积是70.65－45＝25.65平方厘米
（4）阴影部分的面积是70.65－25.65＝45平方厘米
3、 如图答20－10所示，
（1）半圆半径的平方是62.8×2+3.14＝40平方厘米
（2）三角形AOB的面积是40÷2＝20平方厘米
（3）阴影部分所在圆的半径的平方是40×2＝80平方厘米
（4）阴影部分的面积是80×3.14×－20＝11.4平方厘米
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例题1。
如图20－1所示，求图中阴影部分的面积。
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【思路导航】
解法一：阴影部分的一半，可以看做是扇形中减去一个等腰直角三角形（如图20－2），等腰直角三角形的斜边等于圆的半径，斜边上的高等于斜边的一半，圆的半径为20÷2＝10厘米
【3.14×102×－10×（10÷2）】×2＝107（平方厘米）
答：阴影部分的面积是107平方厘米。
解法二：以等腰三角形底的中点为中心点。把图的右半部分向下旋转90度后，阴影部分的面积就变为从半径为10厘米的半圆面积中，减去两直角边为10厘米的等腰直角三角形的面积所得的差。
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（20÷2）2×－（20÷2）2×＝107（平方厘米）
答：阴影部分的面积是107平方厘米。
练习1
如图20－4所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）
如图20－5所示，用一张斜边为29厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边为49厘米的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形。求红蓝两张三角形纸片面积之和是多少？
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例题2。
如图20－6所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。
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【思路导航】
解法一：先用长方形的面积减去小扇形的面积，得空白部分（a）的面积，再用大扇形的面积减去空白部分（a）的面积。如图20－7所示。
3.14×62×－（6×4－3.14×42×）＝16.82（平方厘米）
解法二：把阴影部分看作（1）和（2）两部分如图20－8所示。把大、小两个扇形面积相加，刚好多计算了空白部分和阴影（1）的面积，即长方形的面积。
减
加
（2）
（1）
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3.14×42×+3.14×62×－4×6＝16.28（平方厘米）
答：阴影部分的面积是16.82平方厘米。
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如图20－9所示，△ABC是等腰直角三角形，求阴影部分的面积（单位：厘米）。
如图20－10所示，三角形ABC是直角三角形，AC长4厘米，BC长2厘米。以AC、BC为直径画半圆，两个半圆的交点在AB边上。求图中阴影部分的面积。
如图20－11所示，图中平行四边形的一个角为600，两条边的长分别为6厘米和8厘米，高为5.2厘米。求图中阴影部分的面积。
例题3。
在图20－12中，正方形的边长是10厘米，求图中阴影部分的面积。
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例题1。
如图20－1所示，求图中阴影部分的面积。
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【思路导航】
解法一：阴影部分的一半，可以看做是扇形中减去一个等腰直角三角形（如图20－2），等腰直角三角形的斜边等于圆的半径，斜边上的高等于斜边的一半，圆的半径为20÷2＝10厘米
【3.14×102×－10×（10÷2）】×2＝107（平方厘米）
答：阴影部分的面积是107平方厘米。
解法二：以等腰三角形底的中点为中心点。把图的右半部分向下旋转90度后，阴影部分的面积就变为从半径为10厘米的半圆面积中，减去两直角边为10厘米的等腰直角三角形的面积所得的差。
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（20÷2）2×－（20÷2）2×＝107（平方厘米）
答：阴影部分的面积是107平方厘米。
练习1
如图20－4所示，求阴影部分的面积（单位：厘米）
如图20－5所示，用一张斜边为29厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边为49厘米的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形。求红蓝两张三角形纸片面积之和是多少？
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如图20－6所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。
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【思路导航】
解法一：先用长方形的面积减去小扇形的面积，得空白部分（a）的面积，再用大扇形的面积减去空白部分（a）的面积。如图20－7所示。
3.14×62×－（6×4－3.14×42×）＝16.82（平方厘米）
解法二：把阴影部分看作（1）和（2）两部分如图20－8所示。把大、小两个扇形面积相加，刚好多计算了空白部分和阴影（1）的面积，即长方形的面积。
减
加
（2）
（1）
20－8
3.14×42×+3.14×62×－4×6＝16.28（平方厘米）
答：阴影部分的面积是16.82平方厘米。
A
练习2
A
B
C
D
2
60○
20－11
20－10
B
20－9
C
如图20－9所示，△ABC是等腰直角三角形，求阴影部分的面积（单位：厘米）。
如图20－10所示，三角形ABC是直角三角形，AC长4厘米，BC长2厘米。以AC、BC为直径画半圆，两个半圆的交点在AB边上。求图中阴影部分的面积。
如图20－11所示，图中平行四边形的一个角为600，两条边的长分别为6厘米和8厘米，高为5.2厘米。求图中阴影部分的面积。
例题3。
在图20－12中，正方形的边长是10厘米，求图中阴影部分的面积。
20－14
20－13
2
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