Question

求教两个关于导数的题目，

题目本身可能存在问题
最好有详细过程，谢！

1. y=x^x,求y'和(0,+∞)的极小值

2.y={ x^(1/2) ，x>=0

-[(-x)^(1/2)]，x<0}

证明此函数单调递增

Answer 1

第一题为幂指函数，首先将x^x化为e^(xlnx)

所以y` = e^(xlnx) * (xlnx)`
= e^(xlnx) * (lnx + x * 1/x)
= e^(xlnx) * (lnx + 1)
= x^x * (lnx + 1)
令导数等于零，得出 x = 1/e ,因为x^x大于零，lnx + 1单调递增，所以 x = 1/e 为极小值点，所以y的极小值为 （1/e）^（1/e） = e ^ (-1/e)

2.下面第二题
分段函数需要分段求导，间断点单独讨论

所以y`= 1/2 * （x^(-1/2)） x>0
1/2 * （(-x)^(-1/2)）x< 0

由于间断点的左右极限相同，都为0,所以函数在0点连续。
所以下面只需要讨论导数是否大于零即可证明函数单调。
有幂函数的定义，显然导数在x∈R时均大于0 ，所以函数单调递增

Answer 2

1、利用指数恒等式，x^x=e^(lnx^x)=e^(xlnx),再利用复合函数求导法则去求；至于最小值，导数求出来了，令它等于零，求出根再代入x^x中即得；2、看x<0时的解析式可知其图象与x>0时的图象关于原点对称，故只须证大于零的情况

Answer 3

(1)采用对数求导法:y=x^x lny=xlnx (1/y)*y'=lnx+1 y'=(lnx+1)*y=(lnx+1)*x^x
因为x>0所以当y'=0时,lnx+1=0所以x=1/e